Ngô Bảo Châu và bổ đề cơ bản
Tạp chí Time vừa bình chọn 10 khám phá khoa học nổi bật nhất trong năm 2009, trong đó có chứng minh Bổ đề cơ bản của Ngô Bảo Châu, một nhà toán học người Việt đang làm việc ở Pháp và Mỹ. Đây là thành tích nổi bật nhất về khoa học của người Việt Nam từ trước đến nay. Đọc thông tin về Bổ đề này tôi thấy rất khó hiểu, khó hiểu hơn rất nhiều lần khi tôi đọc về Định đề Poincare và huy chương Fields cho nhà toán học Nga Perelman. Có thể về Định đề Poincare và câu chuyện của Perelman có bài viết rất xuất sắc của Nasar và Grube trên tạp chí The New Yorker nên tôi có thể nắm bắt được vấn đề. Tôi cũng muốn đọc một bài viết tương tự như thế về Bổ đề cơ bản này, nhưng hiện nay tôi không tìm thấy một bài viết nào như vậy. Nếu không có bài viết nào thì tại sao tôi thử viết về chính nó như một cách tôi hiểu nó như thế nào. Nếu tôi không hiểu được vấn đề này thì tôi tin rằng đa số người Việt Nam cũng không hiểu được vấn đề này. Thấy Time bình chọn thì ta cùng vui vỗ tay, mà thực ra không biết vỗ tay vì cái gì.
Câu chuyện có lẽ phải quay về Galois, nhà toán học người Pháp, người đặt nền móng cho toán học hiện đại. Cuộc đời của Galois là câu chuyện về một thiên tài đoản mệnh mang âm hưởng như một sáng tác văn chương. Trong đêm cuối cùng của cuộc đời mình, Galois để lại bức thư tuyệt mệnh trong đó có nêu phát hiện mối liên hệ giữa lý thuyết nhóm và lời giải phương trình đa thức. Trước Galois, người ta đã biết phương trình đa thức từ bậc 5 trở lên không có công thức nghiệm tổng quát. Đó là nội dung của định lý Abel. Chẳng hạn như phương trình bậc nhất a x + b = 0 có công thức nghiệm tổng quát x=-b/a, nhưng phương trình từ bậc 5 trở lên không thể có công thức tính nghiệm kiểu như vậy. Mặc dù không có công thức nghiệm tổng quát, các phương trình đa thức từ bậc 5 trở lên vẫn có thể có nghiệm, thế nhưng định lý Abel không cho biết khi nào chúng có nghiệm và có thể giải được. Lý thuyết của Galois trả lời được vấn đề này. Kết quả là một phương trình đa thức có thể giải được hay không phụ thuộc vào các nghiệm số của nó có tạo thành một nhóm hoán vị hay không. Nhóm hoán vị này gọi là nhóm Galois. Chẳng hạn đối với phương trình bậc 2: a x^2 + b x + c = 0 có nghiệm số x1, x2 thỏa mãn công thức Viete: x1+x2=-b/a và x1*x2=c/a. Nếu đổi chỗ hai nghiệm này cho nhau trong công thức Viete thì ta vẫn thu được đẳng thức đúng: x2+x1=-b/a và x2*x1=c/a. Như vậy nghiệm số của phương trình bậc 2 có hai phép đối xứng: một là đồng nhất và hai là hoán vị. Chúng tạo thành nhóm Galois, và do vậy phương trình bậc 2 là phương trình giải được. Từ khái niệm nhóm Galois người ta phát triển tới khái niệm biểu diễn Galois. Biểu diễn Galois có thể xem là diễn tả mối quan hệ phức tạp giữa các nghiệm số của các phương trình nghiên cứu trong lý thuyết số.
Từ thế kỷ 17 Fermat, một nhà toán học Pháp, từng đặt câu hỏi một số nguyên tố lẻ như thế nào có thể viết thành tổng của hai số chính phương? Ví dụ như 13=3^2 + 2^2. Fermat tìm ra số nguyên tố lẻ là đồng dư 1 của 4 (có nghĩa là chia cho 4 dư 1) có tính chất như vậy. Ví dụ như các số 5, 13, 17... Như vậy mẫu hình cho số nguyên tố lẻ là đồng dư 1 của 4 có tính chất chu kỳ, hay nói cách khác là có tính chất đối xứng. Định lý Fermat này là ví dụ đơn giản cho bài toán tổng quát hơn có tên gọi là định luật nghịch đảo. Định luật nghịch đảo tìm điều kiện để một phương trình bình phương đồng dư một số nguyên tố có nghiệm. Đầu thế kỷ 20 Artin, một nhà toán học Áo tổng quát thành định luật nghịch đảo mà bây giờ được mang tên ông. Đến năm 1967 Langlands, một nhà toán học Mỹ gốc Canada, tìm ra mối liên quan với hình thức tự cấu. Hình thức tự cấu có thể coi là những hàm số đối xứng cao. Ví dụ đơn giản là hàm sin(x) hay cos(x). Các hàm số này có tính chất chu kỳ, hay nói cách khác chúng bất biến nếu ta dịch chuyển cả đồ thị hàm số dọc theo trục x đi 2 pi. Đây là tính chất đối xứng đơn giản. Langlands chỉ ra tương lai của lý thuyết số là ở hiểu biết các hàm số có tính chất chu kỳ kỳ lạ hay ở các dạng phức hợp khác. Ông nhận thấy một số (ví dụ như số 4 trong định lý Fermat kể trên là chu kỳ cho số nguyên tố lẻ có tính chất là tổng của hai số chính phương) thực ra là một ma trận 1x1. Như vậy sự dịch chuyển chu kỳ kiểu như vậy trong định lý Fermat kể trên có thể biểu diễn bằng một số hay một ma trận 1x1. Với các định luật nghịch đảo tổng quát hơn khoảng cách dịch chuyển biến đổi đằng sau chúng có thể biểu diễn bằng ma trận có kích thước lớn hơn. Đây là một định đề của Langlands trong chương trình mang tên ông.
Các nhà toán học khi khám phá các quy luật toán học thường hay phát biểu dưới dạng định đề, tức là một mệnh đề toán học mà có lẽ nó đúng nhưng hiện tại chưa chứng minh được hay mới chỉ chứng minh được tính đúng của nó cho một số trường hợp con. Bằng cách nào mà các nhà toán học phát minh ra được các định đề là một điều bí ẩn, ít nhất là trong cảm nhận của tôi. Tôi có cảm giác đó như là một nghệ thuật hay là một dạng mặc khải về cái đẹp, có nghĩa là chúng ta chỉ có thể kinh ngạc hay sững sờ về chúng mà không thể tài nào lý giải được tại sao chúng lại có thể xuất hiện và hợp lý đến thế. Năm 1967 Langlands đề xuất mối liên hệ mật thiết giữa đại số và giải tích, mà cụ thể hơn là sự tương ứng giữa biểu diễn Galois và hình thức tự cấu. Đấy là chương trình Langlands, và là một lý thuyết thống nhất lớn của toán học trong đó bao gồm cả tìm kiếm tổng quát hóa của tính nghịch đảo Artin đến mở rộng Galois cho trường số.
[........]
Bổ đề cơ bản nằm trong chương trình Langlands. Nó là một kết quả quan trọng trong lý thuyết hình thức tự cấu. Năm 1979, Labesse và Langlands công bố khám phá hiện tượng về hai biểu diễn tự cấu cùng tương ứng với một hàm số L có thể xảy ra với bội khác nhau trong không gian của các hình thức tự cấu. Ban đầu Labesse và Langlands mới chỉ chứng minh cho nhóm SL(2). Sau đó Kottwitz chứng minh cho nhóm SL(3), và được Waldspurger chứng minh cho toàn bộ nhóm SL(n). Hales và Weissauer chứng minh cho nhóm Sp(4). Kottwitz và Rogawski chứng minh cho nhóm unitary U(3). Sau đó Laumon và Ngô Bảo Châu chứng minh cho toàn bộ nhóm unitary U(n). Với kết quả này, Laumon và Ngô Bảo Châu được trao giải thưởng nghiên cứu Clay vào năm 2004 cùng với Green. Năm 2008 Ngô Bảo Châu chứng minh cho tất cả trường hợp và kết quả được khẳng định vào năm nay. Như vậy Ngô Bảo Châu đặt dấu chấm cuối cùng cho Bổ đề cơ bản. Lịch sử 30 năm của Bổ đề cơ bản có vẻ như kết thúc ở đây. Nhưng có lẽ không hẳn như vậy. Chứng minh của Ngô Bảo Châu, theo như tôi lờ mờ hiểu, là cho các trường hợp unramified. Còn với các trường hợp ramified như thế nào thì nằm ngoài khả năng hiểu biết của tôi.
[........]
Toán học hiện đại ngày nay đã quá sâu để những người bình thường có thể hiểu được các nhà toán học đang làm gì. Tôi hình dung các nhà toán học như một câu lạc bộ cửa đóng then cài, ở trong đấy họ đang "tự sướng" với nhau. Không phải bởi vì nơi đấy có những tường che chắn những con mắt của thiên hạ nhìn vào, mà là ở nơi đấy có những bức tường vô hình về kiến thức mà những người bình thường không thể nào phóng tầm mắt qua được. Nhưng rõ ràng có một vấn đề rất lớn: các nhà toán học đang "tự sướng" bằng tiền của thiên hạ mà thiên hạ lại không thể nào hiểu được niềm sung sướng lớn lao đang ngự trị nơi các nhà toán học đó. Một vấn đề rất không bình thường. Một hệ thống tự khép kín luôn dẫn đến tha hóa. Tôi hình dung về một tình thế khủng khiếp nhất về toán học: vị hoàng đế cởi truồng. Liệu có thể xảy ra không? Tại sao lại không thể, khi mà rất ít người có thể hiểu được các nhà toán học đang làm gì. Tôi nhớ tới Perelman, nhà toán học duy nhất từ trước đến nay từ chối nhận Huy chương Fields, đã viết: "Tôi thất vọng về toán học và tôi muốn thử một điều gì đó khác". Toán học đã ở một vị trí khác hẳn các lĩnh vực khoa học khác như vật lý hay sinh học, nơi mặc dù có những trở ngại nhất định, nhưng các khám phá vật lý hay sinh học lớn, ví dụ như các giải thưởng Nobel, đều có thể diễn giải cho dân chúng bình thường hiểu. Tôi cảm thấy rằng vẻ đẹp luôn mang tính phổ quát. Do đó phàm là đẹp thì bao giờ cũng có cách để mọi người đều có thể thưởng thức và cảm nhận được. Cái mà chỉ một số ít người có thể cảm nhận được, không phải là cái đẹp thực sự, có chăng chỉ là một thứ đèm đẹp mà thôi.
Với thành tích chứng minh Bổ đề cơ bản này, Ngô Bảo Châu đang là một ứng cử viên sáng giá cho Huy chương Fields, giải thưởng sẽ được công bố vào năm 2010. Đây cũng là cơ hội cuối cùng cho Ngô Bảo Châu. Một giải thưởng lớn lao như vậy cho một người Việt Nam sẽ là một sự kiện mang tính lịch sử và văn hóa đối với Việt Nam. Nếu được Huy chương Fields, trường hợp của Ngô Bảo Châu đối với Việt Nam có lẽ cũng tương tự như trường hợp của Khâu Thành Đồng (Shing-Tung Yau) đối với Trung Quốc. Nhưng có lẽ có thể có một điểm khác biệt: Khâu Thành Đồng là một nhà toán học "phò chính thống" đối với chính quyền Trung Quốc. Trường hợp của Ngô Bảo Châu thật khó mà tiên đoán, nhưng Ngô Bảo Châu từng viết một bức thư ngỏ về dự án bauxite ở Việt Nam, một trường hợp hiếm hoi trong số các nhà khoa học xuất thân từ các lớp năng khiếu ở Việt Nam, đang học tập và làm việc ở nước ngoài. Thế hệ của Ngô Bảo Châu là thế hệ đầu tiên được du học ở các nước phương Tây, khác với những lớp người trước đấy toàn du học ở các nước Đông Âu. Thế hệ đấy cũng là thế hệ chứng kiến sự sụp đổ của bức màn sắt vốn chia đôi châu Âu trong hàng chục năm. Những biến đổi của lịch sử và chính trị không thể không phán ánh trong thế giới quan và nhân sinh quan của những người thuộc thế hệ đấy, bất kể họ có giam mình đến đâu trong tháp ngà khoa học. Sự khác biệt giữa họ chỉ là công khai hay không công khai nhãn quan của mình, lựa chọn một ứng xử nhất định trước xã hội và chính trị đầy bất định. Những người nổi tiếng, nhất là nổi tiếng trong khoa học hay văn học ở những đất nước có những đặc điểm riêng biệt, đều mang trên mình một định mệnh. Đó là định mệnh gì thì thời gian sẽ có câu trả lời. Họ thực sự là những con người đang đi trong sương? Có phải vậy không?
Những nhân vật xuất chúng thường có những cơ duyên kỳ lạ mà không thể nào phân tích được. Bởi vì cuộc đời chỉ có một lần, không thể giả sử thế này hay thế khác. Tất nhiên bao trùm lên cơ duyên chính là tài năng. Cơ duyên thứ nhất của Ngô Bảo Châu chính là bức màn sắt chia đôi châu Âu sụp đổ và Ngô Bảo Châu không phải du học ở các nước Đông Âu. Nếu đây là một bước ngoặt thì định mệnh của Ngô Bảo Châu là gắn với kết thúc của một lịch sử ở châu Âu. Không phải là nếu học ở một nước Đông Âu thì khả năng thành công kém đi, mà là nếu học ở một nước Đông Âu cuộc đời có thể không giống như đang xảy ra. Bước ngoặt thứ hai là Ngô Bảo Châu du học ở Pháp và được học với Laumon. Nếu không học với Laumon, Ngô Bảo Châu vẫn có thể thành công vang dội, nhưng chắc hẳn sẽ không gắn với Bổ đề cơ bản này. Một duyên phận, duyên phận của một cá nhân xuất chúng. Cái gì liên kết số phận của một cá nhân với những biến đổi khôn lường của lịch sử và với những cá nhân khác? Thật khó mà trả lời được, chỉ có thể nói rằng đấy là cơ duyên.
Vào một tối mùa hè năm 2006 hàng trăm nhà vật lý tề tựu tại khách sạn Hữu nghị ở Bắc Kinh để nghe bài thuyết trình của Khâu Thành Đồng. Đây có phải là viễn cảnh tương lai của Ngô Bảo Châu? Ở đây cũng có thể có điểm khác biệt: đấy là khát khao vị thế của Khâu Thành Đồng như một biểu tượng của trí tuệ trong cộng đồng khoa học của Trung Quốc. Việt Nam dường như không có truyền thống như vậy trong khoa học: một chiếc ngai vàng ngự trị trong giới hàn lâm. Trong một lần diễn thuyết ở Đại học Triết giang, Khâu Thành Đồng nói rằng: "Khi bước ra khỏi máy bay và chạm chân xuống mặt đất Bắc Kinh, tôi cảm thấy một niềm xúc động lớn lao trở về đất mẹ. Tôi tự hào nói rằng khi được trao Huy chương Fields trong toán học, tôi không mang hộ chiếu của bất kỳ quốc gia nào, và phải được công nhận dứt khoát là người Trung Quốc." Câu chuyện quốc tịch muôn hình vạn trạng. Khi Chopin chết người ta đã xẻ trái tim ông ra mang về Ba Lan, cất trong một cái cột ở nhà thờ có dòng chữ "Châu báu của ngươi ở đâu, trái tim của ngươi ở đấy". Những gì quý giá nhất của Chopin phải nằm ở Ba Lan, chứ không thể nằm ở Pháp. Nhưng Ngô Bảo Châu vẫn đang mang hộ chiếu Việt Nam.
